L'ensemble des documents que je propose sur ce site sont placés sous la protection de la licence Creative Commons.

Frange achromatique

Présentation

On considère le cas d'un dispositif interférentiel à deux voies, incluant un système dispersif, comme une lame mince plan-parallèle, éclairé en lumière monochromatique. Prenons pour simplifier le dispositif des fentes d'Young où l'on a placé devant l'une des fentes une lame mince plan parallèle d'indice $n$. Dans cette situation, la différence de marche peut se mettre sous la forme:

où $a$, $D$ et $e$ désignent respectivement l'écart entre les deux fentes, la distance entre le plan des fentes et le plan d'observation et enfin l'épaisseur de la lame. Si l'on fait abstraction de la dispersion induite par la lame, on constate que l'ordre d'interférence $p = 0$ est indépendant de la longueur d'onde. On obtient en $x_a = (n-1) D / a e$ une frange brillante blanche. Comme elle est non colorée, on la qualifie d'achromatique. Cette frange est celle qui est observée en $x_a = 0$ en l'absence de lame (voir cette simulation). En première approximation, la présence de la lame se traduit donc par une translation de la figure d'interférence (on montre que la figure est déplacée du côté où se trouve la lame).

Pour être plus précis dans la description de l'influence de la lame, on doit tenir compte de la variation de l'indice optique avec la longueur d'onde, ce que l'on appelle la dispersion. C'est au physicien français Augustin Louis Cauchy (1789-1857) que l'on doit la loi empirique suivante:

La différence de marche s'écrit maintenant sous la forme suivante:

L'ordre d'interférence 0 n'est plus le même pour toutes les longueurs d'onde. En cas de dispersion prononcée, la frange blanche dont nous avons parlé ci-dessus n'existe plus !

Néanmoins, il est possible qu'en un point précis du champ d'interférences, l'ordre d'interférence soit quasiment le même pour toutes les longueurs d'onde voisine d'une longueur d'onde particulière $ lambda_0 $. On note $p_a$ cet ordre d'interférence qui a la particularité de très peu dépendre de la longueur d'onde au voisinage de $lambda_0$. On obtient alors en ce point précis du champ d'interférences un recouvrement en phase des éclairements de toutes ces radiations, ce qui donne lieu à une frange non colorée, donc achromatique, qui peut être blanche (si $ p_a$ est entier), sombre (si $p_a$ est demi-entier) ou encore quelconque ! Pour $lambda_0=550\ \text{nm}$, la frange achromatique sera nettement perceptible par l'oeil puisque cette longueur d'onde particulière correspond à son maximum de sensibilité.

Traduisons tout ceci par quelques équations mathématiques. Premièrement, il convient de déterminer $p_a$ en écrivant:

Ceci donne:

En revenant à l'expression de la différence de marche $delta = ax/D - (A-1 + B / lambda^2) e $, on obtient:

L'égalité $ delta(x_a,lambda_0)=p_a lambda_0$ permet alors de déterminer la position $x_a$ de la frange achromatique correspondant à $lambda_0$.

Les deux simulations ci-dessous vous permettent d'illustrer ce qui vient d'être expliqué. La première simulation vous permet de visualiser le déclage de la figure d'interférence résultant de la présence de la lame. L'effet de la dispersion est aussi visible (prendre des valeurs de B élevées). Vous pouvez modifier à votre guise l'épaisseur de la lame, les coefficients $A$ et $B$ (notez que $B$ est choisi nul par défaut, ce qui correspond à l'absence de dispersion). Il est possible de varier le rapport $D / a$. L'applet vous donne la position de la frange achromatique. À vous d'apprendre aussi à la repérer !

Décalage de la figure d'interférence

Frange achromatique

Cette seconde simulation montre, à partir du tracé des éclairements pour quelques longueurs d'onde correspondant aux radiations rouge, jaune, verte et bleue, la superposition des éclairement au voisinage de la frange achromatique. Vous verrez que tant que la dispersion est peu prononcée (ce qui est le cas pour la valeur usuelle $ B = 4000\ \text{nm}^2 $) la frange achromatique reste blanche et qu'il est difficile de voir la différence avec le cas non dispersif ( $ B = 0 $). À l'inverse, choisissez pour $B$ une valeur caricaturalement élevée (comme $ 25000\ \text{nm}^2 $) et observez ce qui se passe.