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Trafic routier: ondes cinématiques, ondes de choc, ondes de raréfaction

Un peu de théorie

Précisons tout de suite que je ne suis pas spécialiste de trafic routier...Comme tout conducteur, il m'est souvent arrivé de pester contre ces bouchons interminables ou contre une circulation en accordéon. Quelle ne fut pas ma stupéfaction de savoir que des modèles simples permettent de mettre en évidence de tels comportements !

Le but de cet article est avant tout pédagogique. À l'origine, il s'agissait de proposer à mes élèves une séance d'informatique afin d'étudier une loi de conservation sous la forme d'une équation différentielle aux dérivées partielles. C'est un excellent exercice, mais difficile, où, guidé par un relatif bon sens, on construit un modèle mathématique exprimant des principes physiques. Sa résolution et l'interprétation des résultats en relation avec le phénomène étudié apporte non seulement des réponses aux questions posées mais aussi ouvre de nouvelles perspectives.

Entrons maintenant dans le vif du sujet...

Mise en équation du problème

Densité de trafic

On souhaite donc étudier l'évolution à la fois dans l'espace et dans le temps du trafic routier sur une route à une seule voie (on traite donc un problème unidimensionnel). L'approche suivie ici est celle d'une modélisation continue: c'est-à-dire que le trafic routier ne sera pas être représenté par la position individuelle de chacune des voitures. Nous sommes plutôt intéressé par des quantités moyennes comme, en tout premier lieu, ce que l'on nommera la densité de trafic qui correspond au nombre de voitures par unité de longueur de la route. La densité de trafic, à l'abscisse x et à l'instant t , est notée:

> [Maple Math]

Par souci de simplicité, cette route sera supposée uniforme, sans intersections, sans feux rouges ou autres embellissements dont on pourrait tenir compte dans une approche plus évoluée.

Expression du bilan local de trafic

Pour établir l'équation aux dérivées partielles décrivant la dynamique du trafic, il faut écrire une loi de conservation qui exprime que le changement dans le temps de la densité de trafic sur un tronçon de route est dû à des termes de flux: toute arrivée de voitures dans ce tronçon tend à faire augmenter la densité de trafic alors que tout départ de voitures tend à la faire diminuer. Le flux de trafic, à l'abscisse x et à l'instant t est noté:

> [Maple Math]

Le flux n'est pas un concept aussi simple que celui de densité de trafic. Spontanément, on peut l'associer au nombre de voitures qui passent au point d'abscisse x pendant une unité de temps. Précisons encore une fois que l'on s'intéresse à des valeurs moyennes (dans le temps en ce qui concerne le flux). Imaginons que l'on se place sur un pont qui enjambe une route et que nous comptions le nombre de voitures qui passent sous le pont pendant une certaine durée. Il faut que cette durée soit suffisamment importante de telle sorte que le calcul de la valeur moyenne du nombre de voitures ayant franchi le pont soit significatif. D'un autre côté, il faut que cette durée de comptage soit suffisamment faible devant le temps caractéristique d'évolution du trafic pour pouvoir décrire ses évolutions.

En conclusion, le modèle continu que nous utilisons n'est valable que pour un trafic suffisamment important évoluant suffisamment lentement. Ces conditions permettent de s'intéresser à un comportement collectif et non au comportement individuel de chaque voiture.

Pour un tronçon de route de longueur dx , le bilan local de trafic, pour une durée dt , peut s'écrire comme suit:

> [Maple Math]

En regroupant les termes, en effectuant les développements limités nécessaires en se limitant au premier ordre en dx ou dt , on obtient l'équation aux dérivées partielles suivante:

> [Maple Math]

Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles de nature hyperbolique qui est particulièrement courante en physique (elle intervient dès que l'on a besoin d'écrire un bilan local d'une grandeur extensive conservée).

Lien entre densité et flux

Le problème tel qu'il est apparaît à ce stade de la modélisation n'est pas complet. Il faut se donner un modèle liant la densité de trafic n(x,t) au flux j(x,t) . On définit la vitesse associée au trafic, v , en écrivant que le flux est égal au produit nv . En effet, un simple argument dimensionnel nous montre que si v s'exprime en mètres par seconde et n en voitures par mètre, alors nv s'exprime en voitures par seconde. En toute rigueur, cette vitesse est associée à des conditions de trafic particulières (déterminées par n et j ); la vitesse individuelle de chaque véhicule peut être différente de cette vitesse moyenne. Par souci de simplicité, on peut considérer néanmoins que la vitesse individuelle de toutes les voitures est la même, égale à la vitesse moyenne v . En termes de physique ondulatoire, cette vitesse est une vitesse de phase : il suffit de considérer les voitures comme des maxima locaux de densité qui se déplacent.

L'équation aux dérivées partielles qui régit les évolutions spatio-temporelles du trafic s'écrit:

> [Maple Math]

Il subsiste encore deux inconnues pour une seule équation. Ce n'est pas surprenant: le problème étudié ici est caractérisé par la conservation d'une seule grandeur scalaire (la densité de trafic, c'est-à-dire le nombre de voitures ou encore la matière) et l'on obtient donc une seule équation. En hydrodynamique, par exemple, on doit adjoindre à l'équation de conservation de la matière, l'équation de conservation de la quantité de mouvement.

Il n'est pas question dans cette approche simplifiée d'utiliser une équation analogue à l'équation de conservation de la quantité de mouvement, faute de disposer d'un modèle des interactions qui s'exercent entre voitures. On va plutôt utiliser une hypothèse de fermeture des équations ad hoc mais qui n'est pas complètement dénuée de sens!

Pour ce, fixons quelques valeurs numériques. On peut admettre que si les voitures ne sont pas trop nombreuses sur la route, elles roulent toutes à une vitesse maximale de l'ordre d'une vingtaine de mètres par seconde, soit 80 km/h . On admet ensuite que la densité augmentant, la vitesse décroît. Choisissons même une décroissance monotone:

> [Maple Math]

L'expression ci-dessus fait apparaître la densité maximale qui correspond à une vitesse des voitures nulle: c'est l'embouteillage qui se produit lorsque les voitures se touchent les unes les autres. Si L est la longueur moyenne typique d'une voiture (disons 3 mètres) alors la densité maximale vaut environ 0,33 voiture/mètre. Aux densités intermédiaires, les vitesses sont beaucoup plus variées: sur une route moyennement chargée, le conducteur est libre de choisir (dans une certaine mesure) sa vitesse et peut éventuellement rouler très vite pour dépasser par exemple un véhicule plus lent.

Par souci de simplicité, et dans l'optique d'une étude numérique, il convient de travailler avec des variables sans dimension. Ici, le choix s'impose: la vitesse adimensionnée, toujours notée v , est égale à la vitesse (dimensionnée) rapportée à la vitesse maximale. De même, la densité adimensionnée, qui s'identifie à un taux d'occupation de la route, est égale à la densité rapportée à la densité maximale. On écrit alors:

> [Maple Math]

D'où la relation entre le flux et la densité, que l'on pourrait appeler relation de dispersion :

> [Maple Math]

> plot(n*(1-n),n=0..1,view=[0..1,0..0.5],labels=[`n`,`j`]);

Le graphe ci-dessus représente le flux j en fonction de n : on constate que c'est pour une route à moitié occupée et pour des voitures roulant toutes à une vitesse moitié de la vitesse maximale que le flux de voitures est le plus important. Ce régime idéal a été testé sur les autoroutes californiennes en organisant des convois. Lorsque les conducteurs évoluent librement, le trafic est rarement dans son régime optimal, il est plutôt soit fluide, soit dense.

Ce modèle porte le nom de modèle de Greenshields et l'équation de conservation du trafic est connue sous le nom d'équation de Whitham-Lighthill-Richards :

> [Maple Math]

On obtient une équation différentielle avec une seule inconnue: le taux d'occupation de la route (ou densité de trafic adimensionnée) n(x,t) . Cette équation est non linéaire , présentant une large variétés de solutions, mais dont l'analyse mathématique n'est pas aisée. Plus exactement, il s'agit d'une équation quasi-linéaire , dans le sens où elle est linéaire dans les opérations de dérivées mais ce sont les coefficients de ces dérivées qui dépendent de n .

Nous renvoyons les passionnés d'équations de conservation de quantités scalaires aux travaux de Hopf et Lax.

Ondes cinématiques

L'équation de Whitham-Lighthill-Richards est une équation de propagation. Il est clair qu'une solution uniforme et stationnaire est solution de l'équation. Etudions l'évolution d'une perturbation par rapport à cette solution uniforme et stationnaire. On écrit:

> [Maple Math]

[Maple Math] <<N. Au premier ordre, l'équation vérifiée par la perturbation est:

> [Maple Math]

Cherchons une solution sous la forme d'une onde progressive de la forme [Maple Math] où le paramètre V est homogène à une vitesse. Posons [Maple Math] . L'équation précédente se ramène à:

> [Maple Math]

Comme on cherche une solution [Maple Math] non constante, on retient la solution: V=1-2N . Il existe donc des solutions en ondes progressives qui se propagent à une vitesse V=1-2N , que l'on nomme ondes cinématiques .

Cette vitesse dépend des conditions de trafic. Pour N<1/2 , cette vitesse est positive et l'onde cinématique se propage dans le sens du trafic. Dans le cas où N>1/2 , l'onde cinématique remonte le trafic à contre courant. Pour N=1/2 , [Maple Math] est indépendant du temps et l'onde est stationnaire.

La vitesse de propagation des ondes cinématiques est égale à [Maple Math] : il s'agit donc d'une vitesse de groupe , exactement analogue à la propagation du son dans un milieu dispersif. Après tout, nous discutons bien des conditions d'écoulement d'un fluide particulier...Le fait que cette vitesse dépende de la densité elle-même est le signe que nous traitons d'ondes dispersives . La dispersion dans l'équation de Whitham-Lighthill est liée à la non-linéarité de l'équation, on parle de non-linéarités dispersives.

Rappelez-vous, la vitesse de phase est v=1-N et la vitesse de groupe V=1-2N . Cette dernière est donc la plus faible des deux de même que la vitesse du son est toujours inférieure à la vitesse moyenne des molécules.

À quoi sont dues ces ondes cinématiques ?

Elles résultent des variations de vitesse des véhicules en réaction aux fluctuations de densité. Tant qu'un conducteur roule sur une route dégagée, il peut maintenir une vitesse constante, mais dès qu'il arrive derrière une voiture plus lente, il ralentit (ce qui est compatible avec une augmentation de la densité locale) mais pas de façon instantanée en raison de son temps de réaction non nul (de l'ordre de la seconde). Le conducteur qui le suit est aussi amené à freiner, avec un temps de retard. Ainsi se propage l'onde cinématique de ralentissement. Il se produit la même chose si un véhicule précédant celui d'un conducteur donné accélère: le conducteur n'accélère pas instantanément pour suivre le mouvement du véhicule qui le précède mais avec un certain retard. Dans tous les cas, une onde cinématique est une onde à débit constant car une augmentation de densité induit une diminution de vitesse, ou inversement, de telle sorte que le flux reste constant.

L'exemple cité ici permet de justifier la dénomination "onde cinématique": ce sont des ondes qui correspondent à des fluctuations de densité, donc de vitesse moyenne et qui résultent d'une contrainte cinématique entre la vitesse moyenne v et le flux n et non d'un modèle dynamique incluant les interactions entre véhicules.

Avez-vous déjà observé des ondes cinématiques ?

S'il est très probable que vous ayez déjà pesté contre le conducteur du véhicule qui vous précède parce qu'il ralentissait, vous n'avez peut-être jamais pris conscience qu'en freinant, vous participiez à une onde cinématique de ralentissement. C'est tout à fait normal dans la mesure où ces ondes apparaissent en réalité comme de petites perturbations associées à des longueurs d'onde et des périodes temporelles importantes. Des observations aériennes ont permis de les mettre en évidence. Il n'est même pas facile de les observer par comptage systématique.

Procédures

> j:=proc(n)
n*(1-n);
end:

> trafic:=proc(n0,T)
local i,k,n,p,N:
N:=nops(n0):
n:=array(1..T,1..N):
for p from 1 to N do
n[1,p]:=n0[p]:
od:
for i from 1 to T-1 do
if n[i,1]>0.5 then n[i+1,1]:=n[i,1]+j(n[i,1])-j(n[i,2]):
else n[i+1,1]:=n[i,1]+j(n[i,N])-j(n[i,1]):
fi:
if n[i,N]>0.5 then n[i+1,N]:=n[i,N]+j(n[i,N])-j(n[i,1]):
else n[i+1,N]:=n[i,N]+j(n[i,N-1])-j(n[i,N]):
fi:
for k from 2 to N-1 do
if n[i,k]>0.5 then n[i+1,k]:=n[i,k]+j(n[i,k])-j(n[i,k+1]):
else n[i+1,k]:=n[i,k]+j(n[i,k-1])-j(n[i,k]):
fi:
od:
od:
evalm(n);
end:

> graf:=proc(t,n,N)
pointplot({seq([i,n[t,i]],i=1..N)},view=[0..N,0..1])
end:

> v:=proc(n)
1-2*n;
end:

> graf2:=proc(t,n,N,n0)
pointplot({seq([i-v(n0)*t,n[t,i]],i=1..N)},view=[0..N,0..1])
end:

> N:=60:T:=200:

Applications

Propagation d'ondes

Propagation d'une onde cinématique dans un trafic fluide

> n0:=[seq(evalf(0.2+0.1*exp(-(x-N/4)^2/10)),x=1..N)]:

> t0:=trafic(n0,T):

> display(seq(graf(t,t0,N),t=1..T),insequence=true,view=[0..N,0..1]);

On peut de même visualiser la progression d'une onde cinématique dans un trafic chargé, et qui remonte la route, conformément au modèle théorique (cf ci dessous). La déformation du signal est due aux non linéarités de l'équation de Whitham-Lighthill-Richards. On peut s'en convaincre assez facilement en étudiant les solutions de cette équation par une méthode perturbative: la solution de l'équation à l'ordre 0 peut être choisie constante. A l'ordre 1, on obtient une onde progressive. A l'ordre 2, on obtient une perturbation qui a tendance à déformer l'onde progressive et dont l'amplitude croît dans le temps (et qui cesse donc d'être une perturbation). Une autre façon de voir les choses: la vitesse de groupe décroît avec la densité. Par conséquent, le pic du signal représenté ci-dessus se déplace moins vite que la base. Il en résulte la formation d'un front raide à l'arrière (qui évolue vers une onde de choc) et un front mou à l'avant (une onde de raréfaction se forme). Bref, le signal initial se déforme au cours de sa propagation.

Propagation d'une onde cinématique dans un trafic dense

> n1:=[seq(evalf(0.6+0.1*exp(-(x-N/4)^2/10)),x=1..N)]:

> t1:=trafic(n1,T):

> display(seq(graf(t,t1,N),t=1..T),insequence=true,view=[0..N,0..1]);

Diagrammes spatio-temporels

D'habitude, les diagrammes spatio-temporels sont utilisés par tous les physiciens qui travaillent sur les instabilités. Dans notre cas, on représente en niveaux de gris la densité le long de la route et l'on dispose les unes à côté des autres toutes ces "photographies" du trafic. On obtient ainsi une visualisation dans l'espace et dans le temps de l'évolution du trafic. Sur le diagramme ci-dessous (temps en échelle verticale et espace en échelle horizontale), on voit la perturbation se propager vers l'arrière dans un trafic dense et s'étaler du fait de la dispersion.

En comparaison des diagrammes spatio-temporels associés aux instabilités (où l'on voit des motifs caractéristiques, des doublements de longueur d'onde lors de la transition vers le chaos...), ce diagramme-là n'est pas très palpitant...mais cet exemple permet de comprendre simplement ce qu'est un diagramme spatio-temporel.

Références:

G.B. Whitham. Linear and non linear waves. Wiley-Intersciences, New York, 1974.

J. Walker, Ondes de choc sur autoroutes, Pour la Science, 144 (106), Octobre 1989.

F. Graner, Petits problèmes de physique - première partie. Scopos. Springer-Verlag, 1998.